둘레가 같은 직사각형, 넓이도 같을까요? 두 변을 바꿔 검산하기

직사각형 두 개의 둘레가 같아도 넓이가 같다고 결론 내릴 수는 없습니다. 둘레는 네 변의 길이를 더한 값이고, 넓이는 가로와 세로를 곱한 값이기 때문입니다. 같은 합을 만드는 두 수라도 곱은 달라질 수 있습니다.

문제에서 ‘둘레가 같다’는 조건을 읽었다면 넓이를 바로 계산하려 하지 말고, 어떤 길이를 더 알 수 있는지 확인하세요. 이 글에서는 직접 두 직사각형을 만들어 같은 둘레와 다른 넓이가 동시에 가능한지 검산합니다.

같은 둘레가 알려주는 것은 두 변의 합입니다

직사각형의 가로를 가, 세로를 나라고 쓰면 둘레는 2×가+2×나이고 넓이는 가×나입니다. OpenStax의 직사각형 설명도 이 두 공식을 구분합니다. OpenStax 직사각형의 성질

둘레가 24cm라면 가로와 세로의 합은 12cm입니다. 같은 길이의 변이 두 번씩 있으므로 전체 둘레를 2로 나눈 것입니다. 하지만 합이 12가 되는 양수 두 개는 하나뿐이 아닙니다. 2와 10도, 5와 7도 합이 12입니다.

따라서 24라는 숫자 하나에서 직사각형의 가로와 세로가 각각 정해지는 것은 아닙니다. 그림이 비슷하게 보인다는 이유로 두 변을 모두 6cm라고 가정해서도 안 됩니다. 정사각형이라는 조건이 따로 주어졌는지, 한 변의 길이나 두 변의 관계가 제시됐는지를 읽어야 합니다.

두 직사각형을 만들어 반례를 확인합니다

다음은 실제 물건을 잰 값이 아닌 교육용 가상 사례입니다. A의 가로·세로를 2cm와 10cm, B를 5cm와 7cm로 정했습니다. 두 도형에 대해 둘레와 넓이를 각각 계산해 보세요.

둘레는 둘 다 24cm로 조건을 만족합니다. 넓이는 20cm²와 35cm²로 다릅니다. B의 넓이는 A보다 15cm² 큽니다. 이 두 도형만으로 ‘둘레가 같으면 넓이도 항상 같다’는 주장이 성립하지 않는다는 것을 확인할 수 있습니다. 이런 예를 반례라고 합니다.

비교표를 쓸 때는 먼저 둘레 열부터 확인하세요. 둘레가 다른 두 도형의 넓이가 다르다는 사실만 보이면, 원래 주장의 조건을 시험한 것이 아닙니다. 조건을 만족하는지와 결론이 같은지는 별도로 확인해야 합니다.

더하는 단위와 채우는 단위를 구분하세요

둘레 24cm는 경계를 따라 잰 길이이고 넓이 20cm²는 내부를 채우는 면적입니다. 둘레를 구할 때 네 변을 더하는 것과, 넓이를 구할 때 두 방향의 길이를 곱하는 것은 다른 작업입니다.

OpenStax의 넓이 측정 설명은 직사각형의 길이와 너비를 같은 단위로 맞춰 곱하도록 안내합니다. OpenStax 넓이 측정 이번 예제는 두 변을 모두 cm로 적었으므로 곱의 단위는 cm²입니다.

2cm와 10cm인 직사각형은 한 변이 1cm인 정사각형을 한 줄에 10개씩 2줄 놓는 그림으로 생각할 수 있습니다. 5cm와 7cm인 직사각형은 7개씩 5줄입니다. 경계를 따라가는 길이가 같아도 안쪽을 채우는 칸 수는 달라집니다. 이 해석은 공식을 외운 뒤에도 계산이 무엇을 세는지 확인하게 해줍니다.

다만 둘레와 넓이의 숫자 크기를 직접 비교해 어느 도형이 더 크다고 말하지 마세요. 24cm와 20cm²는 단위부터 다릅니다. 두 도형의 넓이를 비교하려면 넓이끼리, 필요한 테두리 길이를 비교하려면 둘레끼리 놓아야 합니다.

조건 하나를 더 받으면 다시 계산합니다

둘레가 24cm인 직사각형에서 한 변이 4cm라고 추가로 주어졌다고 가정하겠습니다. 두 변의 합이 12cm이므로 다른 변은 8cm이고, 넓이는 4×8=32cm²입니다. 처음에는 정해지지 않던 넓이가 추가 조건으로 정해졌습니다.

반대로 한 변의 길이가 없고 ‘두 직사각형의 둘레가 같다’는 정보만 있다면 답은 넓이 하나로 확정되지 않습니다. A와 B처럼 가능한 도형을 두 개 만들어 보고, 넓이가 달라지는지 확인하는 것이 좋은 검산 방법입니다.

정사각형 6cm×6cm를 더 그리면 둘레 24cm, 넓이 36cm²라는 세 번째 예도 얻습니다. 그러나 세 개를 비교한 결과만으로 모든 도형의 최대 넓이를 증명한 것은 아닙니다. 여기서 확인한 결론은 같은 둘레만으로 직사각형의 넓이를 하나로 결정할 수 없다는 것입니다.

문제를 풀 때는 ‘주어진 조건→가능한 두 변→둘레 재확인→넓이 계산’ 순서를 적어보세요. 실내 면적이나 울타리 견적에 쓰려면 실제 형태·치수와 별도 조건을 확인해야 하며, 이 가상 도형 계산을 실제 시공 결과로 사용할 수는 없습니다.