평균과 범위가 같은 두 자료, 흩어진 정도도 같을까요?

평균과 최댓값·최솟값이 같아도 두 자료가 같은 모습으로 흩어져 있다고 볼 수는 없습니다. 양 끝 사이에 있는 값들이 평균에서 얼마나 떨어져 있는지까지 비교해야 합니다. 평균은 자료의 중심을, 범위는 최댓값과 최솟값 사이의 간격을 알려 주지만 그 사이에 값이 모인 위치를 모두 보여 주지는 않습니다.

이 글에서는 같은 평균과 같은 범위를 가진 표본 두 개의 가상 사례를 직접 계산합니다. 학교 시험의 실제 성적이나 어떤 집단의 조사 결과가 아닙니다. 계산을 따라 한 뒤에는 ‘평균이 같으므로 두 자료가 같다’는 문장을 어떤 정보로 보완해야 하는지 판단할 수 있습니다.

평균과 범위가 모두 같은 자료부터 놓아봅니다

다음은 어떤 시간을 분 단위로 기록했다고 가정한 계산 연습용 자료입니다. A와 B는 각각 다섯 개의 관측값을 가진 표본이며, 값은 반올림하지 않은 정확한 수라고 정합니다.

평균은 두 자료 모두 20÷5=4분입니다. 정렬한 자료의 세 번째 값인 중앙값도 4분이고, 범위는 8−0=8분으로 같습니다. 그래도 원자료를 보면 A는 다섯 값 중 세 값이 평균인 4분에 있고, B는 한 값만 4분에 있습니다.

호주 통계청은 중심을 나타내는 값과 흩어진 정도를 함께 살펴야 자료를 더 잘 이해할 수 있다고 설명합니다. 호주 통계청의 산포 설명 위 표에서는 평균뿐 아니라 범위까지 같은 상황을 만들어, 내부의 값도 확인해야 하는 이유를 살펴봅니다.

평균에서의 거리를 제곱해 더합니다

각 값에서 평균을 뺀 수를 편차라고 합니다. 이 사례의 평균은 4분이므로 0분의 편차는 −4분, 4분의 편차는 0분, 8분의 편차는 4분입니다.

편차를 그대로 더하면 음수와 양수가 상쇄됩니다. A도 B도 편차 합계는 0이므로 그 합계만으로는 두 자료의 흩어진 정도를 비교할 수 없습니다. 분산 계산에서는 편차를 제곱해 더합니다. NIST는 이 방식에서 평균으로부터 멀리 떨어진 값에 더 큰 비중이 생긴다고 설명합니다. NIST 분산과 표준편차 정의

B는 평균에서 4분 떨어진 값이 네 개이고, A는 두 개입니다. 최솟값과 최댓값은 같지만 그 끝값에 놓인 관측값 수가 다르므로 편차제곱합도 달라집니다. 범위만 적은 첫 표에서는 드러나지 않던 차이입니다.

이 계산은 큰 값을 오류로 보고 지우는 절차가 아닙니다. 실제 자료라면 먼저 단위나 입력 오류 여부를 확인하되, 계산 결과를 작게 만들기 위해 정상적인 관측값을 삭제해서는 안 됩니다.

표본분산에서는 다섯이 아니라 넷으로 나눕니다

여기서는 처음부터 두 자료를 표본으로 정했습니다. 표본분산은 편차제곱합을 표본 수에서 1을 뺀 값으로 나눕니다. 표본 수가 5이므로 분모는 4입니다.

반면 정해진 모집단의 모든 값을 대상으로 하는 모집단분산은 전체 개수로 나눕니다. 두 식을 섞으면 같은 원자료를 넣어도 다른 결과가 나옵니다. 호주 통계청은 모집단분산의 분모 N과 표본분산의 분모 n−1을 구분해 제시합니다. 모집단과 표본의 분산 계산식

표준편차는 분산의 제곱근입니다. 분산에서 제곱됐던 단위가 원래 자료의 단위로 돌아오므로 이 예시의 표준편차는 분 단위로 표시됩니다. NIST의 표준편차와 단위 설명

다섯 값을 모집단 전체라고 정하고 계산한다면 분산은 각각 6.4분²와 12.8분²가 됩니다. 그 결과를 위 표의 표본분산과 같은 이름으로 나란히 비교하면 안 됩니다. 계산기 결과가 다를 때는 숫자를 다시 입력하기 전에 어떤 분산을 구했는지 확인하세요.

계산 결과를 보고서 문장으로 옮깁니다

이 연습에서 쓸 수 있는 문장은 다음과 같습니다.

‘A와 B는 평균·중앙값이 각각 4분이고 범위도 8분으로 같다. 그러나 표본표준편차는 A가 약 2.83분, B가 4분이다. B에는 평균에서 멀리 떨어진 관측값이 더 많이 놓여 있다.’

반대로 ‘평균과 범위가 같으므로 분포도 같다’고 쓰면 원자료의 차이를 놓칩니다. ‘B의 값이 전부 더 크다’고 쓰는 것도 맞지 않습니다. 두 자료의 합계와 평균은 같으며, 비교한 것은 값들의 배치와 흩어짐입니다.

표준편차가 더 작다고 해서 그 자료나 집단이 무조건 더 좋다고 평가할 수도 없습니다. 어떤 값을 측정했는지와 비교 목적을 먼저 정해야 합니다. 이 다섯 개의 가상 관측값만으로 실제 집단의 성과나 안정성을 판정하지 않습니다.

마지막에는 원자료와 계산 조건을 함께 남깁니다

보고서에 평균만 적어 두면 나중에 흩어진 정도를 되찾기 어렵습니다. 원자료, 관측값 수, 단위, 표본·모집단 구분, 반올림한 자릿수를 함께 남겨 두세요. 두 자료의 단위나 관측 대상이 다르면 표준편차 숫자만 곧바로 비교할 수 없습니다.

또한 여기서 계산한 표준편차만으로 값들이 정규분포를 따른다고 말할 수는 없습니다. 특정 비율의 값이 평균 주변에 들어간다는 설명을 붙이려면 그 설명이 요구하는 분포 조건을 별도로 확인해야 합니다.

이번 연습의 점검 순서는 분명합니다. 먼저 원자료를 놓고 평균과 범위를 확인한 뒤, 내부 값의 위치를 편차제곱합으로 비교합니다. 마지막으로 표본인지 모집단인지에 맞는 분모를 사용하고 결과의 단위까지 적으면 됩니다.