부등식을 풀다가 답이 헷갈리면 음수로 나눈 단계에서 부등호 방향을 바꿨는지, 경계값에 등호를 잘못 붙이지 않았는지를 따로 확인하세요. 두 실수는 서로 다릅니다. 방향을 맞게 바꾸고도 경계값 하나를 잘못 포함할 수 있습니다.
이 글은 실수 범위의 일차부등식을 대상으로 합니다. 아래 식과 숫자는 오류를 구별하기 위해 만든 가상 사례입니다. 먼저 부등식의 성질에 따라 답을 구한 뒤, 경계의 양쪽 값과 경계값을 원래 식에 넣어 확인합니다. 몇 개의 값을 확인하는 검산만으로 모든 실수에 대한 답을 증명할 수 있는 것은 아닙니다.
마이너스가 보일 때마다 방향을 바꾸지는 않습니다
다음 문제를 풀어 보겠습니다.
−3x + 6 > 12
양변에서 6을 빼면 다음과 같습니다.
−3x > 6
이 단계에서는 부등호가 그대로입니다. 같은 수를 양변에 더하거나 빼는 연산은 대소관계를 유지하기 때문입니다. 왼쪽에 음수 계수인 −3이 있다는 이유만으로 부등호를 바꾸지 않습니다.
다음으로 양변을 음수 −3으로 나눕니다. 바로 이 단계에서 방향을 바꿉니다.
x < −2
따라서 답은 −2보다 작은 모든 실수입니다. 양변에 같은 음수를 곱하거나 양변을 같은 음수로 나누면 부등호 방향이 반대가 된다는 성질은 OpenStax의 일차부등식 설명에서도 확인할 수 있습니다.
풀이 옆에 ‘양변에서 6을 뺌’, ‘양변을 −3으로 나눔’처럼 실제 연산을 적으면, 부등호가 바뀌어야 하는 줄을 찾기 쉽습니다. 숫자의 부호만 보는 대신 양변에 어떤 연산을 했는지 확인하는 습관입니다.
경계의 양쪽과 경계값을 원식에 넣어 봅니다
구한 답의 경계는 −2입니다. 경계보다 작은 −3, 경계인 −2, 경계보다 큰 −1을 원래 식 −3x + 6 > 12에 넣어 보겠습니다.
| 넣어 볼 값 | 원식의 왼쪽 계산 | 원래 조건과 비교 | 원식 만족 여부 |
|---|---|---|---|
| x = −3 | −3 × (−3) + 6 = 15 | 15 > 12 | 만족 |
| x = −2 | −3 × (−2) + 6 = 12 | 12 > 12 | 만족하지 않음 |
| x = −1 | −3 × (−1) + 6 = 9 | 9 > 12 | 만족하지 않음 |
−3은 답에 포함되고 −1은 포함되지 않는 방향이 맞습니다. 경계인 −2를 넣으면 양변이 12로 같아집니다. 하지만 원래 문제의 조건은 ‘크다’인 >이므로, 같은 값은 조건을 만족하지 않습니다.
이 표를 볼 때 ‘왼쪽이 양수면 맞다’ 또는 ‘양변이 같아지면 맞다’라고 판단하지 마세요. 마지막에는 반드시 원래 문제에 쓰인 부등호로 비교해야 합니다. 방정식과 달리, 부등식에서는 양변이 같아지는 값이 답에서 빠질 수도 있습니다.
두 오답은 서로 다른 값으로 잡아냅니다
누군가 같은 문제의 답을 x > −2라고 적었다고 해 보겠습니다. 이 답에는 −1이 포함됩니다. 그런데 −1을 원식에 넣으면 9 > 12가 되어 거짓입니다. 답에 포함시킨 값이 원식을 만족하지 않으므로 이 답은 틀렸습니다. 풀이에서는 −3으로 나누는 줄의 방향 반전을 먼저 살펴보면 됩니다.
이번에는 x ≤ −2라고 적었다고 해 보겠습니다. 방향은 정답과 같지만 등호가 붙었습니다. 이 답은 −2를 포함하는데, 원식에 −2를 넣으면 12 > 12로 거짓입니다. 이때는 음수 나눗셈의 방향보다 경계값을 포함한 이유를 점검해야 합니다.
| 적어 둔 답 | 먼저 확인할 값 | 확인 결과 | 돌아가서 살펴볼 부분 |
|---|---|---|---|
| x > −2 | −1 | 답에는 들어가지만 원식은 거짓 | 음수로 나눈 줄의 부등호 방향 |
| x ≤ −2 | −2 | 답에는 들어가지만 원식은 거짓 | 등호를 추가한 줄 또는 경계 표시 |
| x < −2 | −3, −2, −1 | 위 검산표와 일치 | 각 변형이 동치인지 풀이 전체 확인 |
‘부등호를 틀렸다’로만 표시하면 다음 문제에서도 같은 실수를 반복하기 쉽습니다. 방향을 잘못 잡았는지, 경계를 잘못 포함했는지를 나누어 적으면 고쳐야 할 단계가 구체적으로 보입니다.
원래 문제에 등호가 있었다면 답도 달라집니다
이번에는 처음부터 다른 문제인 −3x + 6 ≥ 12를 풀어 보겠습니다. 앞의 문제와 비교하면 원래 조건에 등호가 추가됐습니다.
양변에서 6을 빼면 −3x ≥ 6이고, 양변을 −3으로 나누면 x ≤ −2입니다. 방향은 바뀌지만 등호는 유지됩니다. 경계값 −2를 넣었을 때 12 ≥ 12가 참이므로 이번에는 −2도 해에 포함됩니다.
수직선으로 나타낸다면 x < −2의 경계는 빈 점으로, x ≤ −2의 경계는 채운 점으로 표시합니다. 어느 쪽이든 경계의 왼쪽을 나타내지만, 점 하나의 포함 여부가 다릅니다. 부등호와 경계 포함 표기는 OpenStax의 선형부등식 단원을 참고할 수 있습니다.
여기서 중요한 것은 앞 문제의 답을 보고 등호를 임의로 붙이는 것이 아니라, 처음 주어진 문제가 >인지 ≥인지 다시 읽는 것입니다.
세 값이 맞아도 전체 풀이 확인은 남습니다
경계의 양쪽과 경계값을 넣는 검산은 이번 예시의 두 오류를 찾아내는 데 유용합니다. 그렇다고 세 값이 맞았다는 이유만으로 모든 실수에 대한 해가 증명되는 것은 아닙니다. 잘못된 답에 들어 있는 반례 하나를 찾으면 오답임을 알 수 있지만, 몇 개의 참인 사례만으로 전체 답이 옳다고 확정할 수는 없습니다.
이번 문제에서 전체 해가 x < −2인 근거는 양변에서 6을 빼는 변형과 음수 −3으로 나누며 방향을 바꾸는 변형이 각각 동치라는 데 있습니다. 검산표는 그 풀이에서 놓친 실수가 있는지 확인하는 보조 장치입니다.
다음 문제를 풀 때는 아래 순서로 점검해 보세요.
- 부등호가 바뀐 줄 옆에 실제 연산을 적습니다.
- 같은 음수로 양변을 나눈 단계인지 확인합니다.
- 경계값을 원식에 넣어 등호 포함 여부를 확인합니다.
- 경계 양쪽의 값을 넣어 답의 방향과 비교합니다.
- 마지막으로 풀이의 각 단계가 동치인지 살펴봅니다.
이 방법을 0으로 나누거나 부호를 모르는 문자로 양변을 나누는 경우까지 그대로 확장하면 안 됩니다. 0으로 나눌 수 없고, 부호가 정해지지 않은 문자로 나누려면 별도의 조건 검토가 필요합니다. 먼저 주어진 음수로 나누는 일차부등식에서 방향과 경계를 구별하는 연습부터 하세요.